Auteur : Serge Boisse
Voir aussi:

Incidemment, j'ai trouvé une expression "simple" pour la fonction caractéristique des nombre premiers :
si x est premier et 0 si x n'est pas premier :
voici cette expression :

p premier est entier dans ce cas.
Inversement si est un entier qui n'est pas premier, est entier (sauf pour qui est la seule exception). Donc pour entier distinct de 4 et composé, et (noter que l'indétermination 0/0 est levée dans ce cas car on aurait )

Il s'en suit que pour , le nombre de nombres premiers inférieurs x à vaut

Je cherche a exprimer cette somme sous forme d'une intégrale, ce qui permettrait d'obtenir et de prouver la conjecture de Riemann...

C'est un exemple de numération J'ai aussi cherché ce qu'on pouvait tirer de la base .

Mais ici on va utiliser une base variable.

L'idée pour factoriser est de l'écrire sous la forme où a et b sont des entiers positifs. La décomposition n'est pas unique, mais elle peut l'être si on impose que tous les soient différents et "maximaux"

Cf. facto_gamma.txt(fichier sur D)(lien privé)

Par exemple avec

Ce qui suggère le polynôme

qui se factorise (trouvé sur Wolfram alpha)
dans GF[2] en et
dans GF[3] en
dans GF[4] en avec
dans GF[5] en
Il y a une racine réelle x≈2.5221258101914903092
Ce qui ne nous avance pas...

Mais d'autres décompositions sont possibles si on ne veut pas du facteur en :

or
donc
ce qui permet de factoriser 550, mais n'est pas ce que l'on veut...

Les facteurs de se décomposent quant à eux en
, donc
, donc

Donc
Ce qui donnerait le polynôme ,
ce qui ne nous avance pas beaucoup non plus.

En fait nous faisons fausses route avec nos polynômes : les factorielles sont plutôt analogues aux puissances tombantes (falling powers) ce qui crée un lien inattendu avec La méthode de Gregory-Newton(lien privé)

On associe donc à ! la fonction notée définie par

par exemple et

Bien sûr

si , on a donc , mais si est entier strictement inférieur à 3, on a . Si , entier positif, on a

Etant donné une suite on peut calculer les différences successives définies par ,
, etc

Si nous considérons pour un donné la suite , nous avons (même pour non entier) :
Ce qui est remarquable, c'est que, tout comme , on a maintenant (preuve : cf What comes next Méthode de Newton > ^5b0b55(lien privé))

Etant donné une somme finie de factorielles, peut-on utiliser ces différences successives pour factoriser notre entier , mis sous forme d'une somme de factorielles ?

Nous avions
donc

Nous pouvons y associer la fonction génératrice
qui vaut 551 pour x=5.

Par ailleurs,
, qui vaut 19 pour
, qui vaut 29 pour

Cherchons à expliciter :

On a

Donc

Or , donc

Ce qui permet d'abaisser de 1 le degré de cette différence,

en fait on a

On veut factoriser , donc il va falloir étudier les produits de telles sommes. On a les relations suivantes :
si ,

Si , , comme vu plus haut. En outre, si

à titre de curiosité,
3! x 5! = 6!
3! x  5! x 7! = 10!

Enfin, toujours si si

Notons aussi que

soit
, avec et ,
Si ces inégalités sont vraies, nous dirons que est la partie principale de n
avec et ,
, avec et ,

Notons que et sont forcément impairs si et le sont respectivement.

Pour que soit la partie principale de ce produit, il faut

Mais on sait aussi que ... #TBC

Dans le cas de
nous le décomposons en
, avec

Nous avons de la chance, est composé, donc si le plus grand des facteurs (), a une partie principale en 5!=120, alors ou

Dans le premier cas on aurait , ce qui est impossible.( est impair, on teste qui est trop grand)
Dans le second cas, on aurait ,idem.

Donc à une partie principale qui vaut ou et dans le premier cas nous avons
avec car est une série de factorielles décroissante. On trouve finalement avec .

Cet algorithme n'en est pas (encore) un, car il reste de nombreuses zones d'ombre. Nous devons d'abord expliciter processus de décomposition en factorielles décroissantes :

Pour décomposer n en une série décroissante de termes avec et le "reste" :

preuve
L'algorithme converge évidemment car à chaque itération on remplace par une valeur plus petite, positive ou nulle. Le nombre d'itération maximal est atteint lorsque n est une somme de factorielles toutes différentes, ce nombre est très petit devant et même devant (utiliser la formule de Stirling).
Etant donné un entier dont on a déterminé la partie principale " par cet algorithme, ne peut pas être plus grand que car sinon conviendrait.
La valeur maximale du reste ne peut pas être supérieure ou égale à car sinon on pourrait remplacer par .
QED.

, à entre 1 et
, à entre 1 et

et bien sûr :

Non, bien sûr : Ce serait trop beau !



et
Par contre, est-il vrai que

On peut supposer sans perdre de généralité
L'hypothèse est vraie (et il y a égalité) si est premier
( )
#TBC
SI n est composé, on pose :
, avec et , donc

avec et ,
, avec et ,
donc

Or au maximum , et de même
donc
or donc

Mais on doit avoir #TBC...

Essayons une idée légèrement différente : une fois qu'on a décomposé , on avait formé la fonction

De manière à ce que Par exemple

Mais sachant que la PP de q est aussi en puissance k ou k-1 ou k-2 peut-on trouver des fonctions telles que pour tout x ?

#TBC

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